Matematika Informatika

Matematika Informatika : Operasi Biner

Soal :
11.     Tunjukan bahwa himpunan bilangan kelipatan 2 merupakan grup terhadap a  *  b = a + b
22.   Tentukan apakah
a.    a  *  b = a + b + 3
b.    a  *  b = a + b - 2ab
berupa group, monoid , atau Semigroup.
33.    Misalkan G = { -1, 1}
 Tunjukan bahwa G adalah group abel dibawah perkalian biasa a  +  b = a * b
44.   Diketahui himpunan R = bilangan real tanpa -1
 a  +  b = ab + a + b
 tentukan sifat operasi binernya

Jawaban :

11.     a  *  b = a + b
-          Tertutup
jika :            a = 2             maka :  a  *  b = a + b
  b = 2                         a  *  b = 2 + 2 = 4

-          Asosiatif
(a  *  b)  *  c  =  a  *  (b  *  c)

(a  *  b)  *  c  = (a + b) *  c                       (a  *  b)  *  c  = a  * (b + c)              
  = a + b + c                                      = a + b + c

-          Identitas
a  *  e = e  *  a = a
a  *  e = a

a  *  b = a + b                               e  *  a     e + a = a + e
a  *  e = a + e                                                     a = a
       a = a + e
       e = 0

-          Invers
a -1        a -1  *  a = e
a  *  b = a + b                   Misalkan : a -1 = b
       b = -a

a  *  b = a + b    = 0
          = a + (-a) = 0
                     0 = 0

-          Komutatif (abel)
a  *  b = b  *  a
  a + b = b + a

Maka a  *  b = a + b anggota bilangan kelipatan 2 merupakan group abel

22. a.     a  *  b = a + b + 3

-          Asosiatif
(a  *  b)  *  c  =  a  *  (b  *  c)

(a  *  b)  *  c  = (a + b + 3) *  c            (a  *  b)  *  c  = a  * (b + c + 3)
  = n  *  c                                                 = a  *  n
  = n + c + 3                                          = a + n + 3
  = a + b + c + 6                                               = a + b + c + 6      

-          Identitas
a  *  e = e  *  a = a
a  *  e = a

a  *  b = a + b + 3                         e  *  a     e + a + 3 = a + e + 3
a  *  e = a + e + 3                                                   a = a
       a = a + e
       e = -3

-          Invers
a -1        a -1  *  a = e
a  *  b = a + b + 3             Misalkan : a -1 = b
       b = - a - 3

a  *  b = a + b +3           = -3
          = a + (-a - 3) + 3 = -3
              0   -3

-          Komutatif (abel)
    a  *  b = b  *  a
a + b + 3 = b + a + 3

Maka a  *  b = a + b + 3 merupakan monoid abel


b.    a  *  b = a + b - 2ab

-          Asosiatif
(a  *  b)  *  c  =  a  *  (b  *  c)

(a  *  b)  *  c  = (a + b – 2ab) *  c                 (a  *  b)  *  c  = a  * (b + c – 2 bc)
  = n  *  c                                                = a  *  n
  = n + c - 2nc                                                = a + n – 2an        
= (a + b – 2ab) + c – 2(a + b – 2ab)c          = a + (b + c - 2bc) – 2a(b + c – 2bc)
= a + b + c – 2ab – 2ac – 2bc + 4abc        = a + b + c – 2bc – 2ab – 2ac + 4abc

-          Identitas
a  *  e = e  *  a = a
a  *  e = a

a  *  b = a + b – 2ae                                e  *  a     e + a – 2ae = a + e – 2ae
a  *  e = a + e – 2ae                                                   – 4ae + a  a – 4ae
       a = a + e – 2ae
       e = -2ae

-          Invers
a -1        a -1  *  a = e
a  *  b = a + b – 2ae                    Misalkan : a -1 = b
       b = - a + 2ae

a  *  b = a + b               = -2ae
          = a + (-a + 2ae) = -2ae
          2ae  -2ae

-          Komutatif (abel)
        a  *  b = b  *  a
a + b – 2ab = b + a – 2ba

maka persamaan a  *  b = a + b - 2ab disebut semigroup abel

33.     a  +  b = a * b
  dengan G { -1, 1}

-          Tertutup
a  +  b = a * b
          = -1 * 1
          = -1

-          Asosiatif
(a  +  b)  +  c  =  a  +  (b  +  c)

(a  +  b)  +  c  = (a * b) +  c                          (a  +  b)  +  c  = a  + (b * c)        
  = n  +  c                                              = a  +  n
  = (a * b) * c                                         = a * (b * c)                                      

-          Iden